Окончил Морскую академию. В 1726—1732 служил на Балтийском и Каспийском морях в должности штурмана.
В 1733 назначен во Вторую Камчатскую (Великую Северную) экспедицию. По приказу В. Беринга зимой 1739/40 по берегу, летом 1740 на боте выполнил съемку не менее 700 км побережья п-ова Камчатка, от устья р. Большой до Авачинской губы включительно, нанес на карту пять прибрежных вулканов, в т.ч. Авачинскую Сопку. Выбрал место для базы экспедиции, положив начало Петропавловску-Камчатскому.
Под командой А. Чирикова в 1741 плавал к берегам Северо-Западной Америки, принимал участие в открытии около 400 км западного побережья о-вов Александра, части хр. Св. Ильи и п-ова Кенай, о-вов Афогнак и Кадьяк, а также четырех островов Алеутской цепи. На обратном пути, несмотря на смерть двух лейтенантов и штурмана, тяжелую болезнь капитана и собственное недомогание, Елагин благополучно довел судно к Камчатке. В 1742 он доставил в Санкт-Петербург рапорт А. Чирикова — первое в истории описание побережья Северо-Западной Америки.
В 1742 вновь под командой А. Чирикова плавал в Беринговом море. В 1740-х — начале 1750-х гг. служил на Балтике и в Архангельске, в 1753—1757 занимался перевозками соли в Саратове. В 1762 произведен в капитаны 1-го ранга.
В честь Елагина назван мыс на п-ове Лисянского (Охотское море).
© 2020 Арктика